4名古屋大学 2015年 数学 第4問解答・解説

(1) 各時刻の点1～5にいる確率を行ベクトル p_t とする。遷移規則から順に $$\displaystyle \begin{aligned} p_0&=(1,0,0,0,0),&p_1&=(0,1,0,0,0),\\ p_2&=(\tfrac12,0,\tfrac12,0,0),&p_3&=(0,\tfrac34,0,\tfrac14,0),\\ p_4&=(\tfrac38,0,\tfrac12,0,\tfrac18),&p_5&=(0,\tfrac58,0,\tfrac38,0),\\ p_6&=(\tfrac5{16},0,\tfrac12,0,\tfrac3{16}). \end{aligned}$$ よって6回後の確率は点1から順に $\displaystyle \tfrac5{16},0,\tfrac12,0,\tfrac3{16}$ である。

(2) 点5に到達すれば、それまでに点1～4も訪れている。初めて点5に着く時刻は偶数であり、6以下では4または6である。4回目に初めて着く経路は $1\to2\to3\to4\to5$ のみで、その確率は $\displaystyle (\tfrac12)^3=\tfrac18$。6回目に初めて着くには、5回後に点4にいて未だ点5を訪れていない必要がある。4回後に点3にいる確率は $\displaystyle \tfrac12$、そこから5回後に点4へ進む確率は $\displaystyle \tfrac12$ なので、この状態にいる確率は $\displaystyle \tfrac14$。さらに6回目に点5へ進む確率は $\displaystyle \tfrac12$ であり、初到達確率は $\displaystyle \tfrac18$。したがって全点に印がつく確率は $$\displaystyle \Pr(T_5\le6)=\tfrac18+\tfrac18=\tfrac14.$$

(3) 訪問した点は常に $1,2,\ldots,M$ の形である。従って印がちょうど3点につく事象は、点3に到達し、点4には到達しない事象である。点3への初到達時刻が $2k$ となる確率は、各2歩ごとに $1\to2\to1$ と戻る確率が $\displaystyle \tfrac12$、最後に $1\to2\to3$ と進む確率が $\displaystyle \tfrac12$ であるから $2^{-k}$（$k\ge1$）。