2名古屋大学 2015年 数学 第2問解答・解説

$A=\sqrt{13}$，$B=\sqrt{9+2\sqrt{17}}$，$C=\sqrt{9-2\sqrt{17}}$ とおく。いずれも正であり， $$B^2+C^2=18,\qquad BC=\sqrt{81-68}=A.$$ (1) $\alpha=A+B+C$ なので $$(\alpha-A)^2=(B+C)^2=18+2A \quad\text{より}\quad \alpha^2-5=2A(\alpha+1).$$ 両辺を二乗して $A^2=13$ を用いると $$(\alpha^2-5)^2=52(\alpha+1)^2.$$ 従って求める多項式の一つは $$\boxed{f(x)=x^4-62x^2-104x-27}.$$

(2) $s,t,u$ をそれぞれ $1$ または $-1$ とし，$x=sA+tB+uC$ とおく。 $(x-sA)^2=18+2tuA$ より $$x^2-5=2A(sx+tu).$$ ここで $tu=s$ の場合には $sx+tu=s(x+1)$ だから $f(x)=0$。すなわち根となるのは $$A+B+C,\quad A-B-C,\quad -A+B-C,\quad -A-B+C.$$ 一方 $tu=-s$ の場合には $$f(x)=52\{(x-1)^2-(x+1)^2\}=-208x.$$ このとき $x=0$ は不可能である。もし $x=0$ なら $13=A^2=(tB+uC)^2=18\pm2A$ となり $A=5/2$ を要するが，$A^2=13\ne25/4$ だからである。従って残る4つはいずれも根ではない。

(3) $B>A>C>0$ が成り立つ。実際，$B^2=9+2\sqrt{17}>13$，$C^2=9-2\sqrt{17}<13$。 次の隣り合う差はいずれも正である： $$\begin{aligned} (A+B+C)-(-A+B-C)&=2(A+C)>0,\\ (-A+B-C)-(A-B-C)&=2(B-A)>0,\\ (A-B-C)-(-A-B+C)&=2(A-C)>0. \end{aligned}$$ 従って大きい順に $$\boxed{A+B+C>-A+B-C>A-B-C>-A-B+C}.$$