3富山大学 2015年 数学 第3問解答・解説

表を $H$、裏を $T$ とし、$q=1-p$ とおく。操作対象の範囲 $\{-1,0,1,2\}$ 内にあるとき、$H$ なら座標を2増やし、$T$ なら1減らす。範囲外に出た後はその座標に留まる。初期座標を $x_0=0$ とする。

(1) 1回目の後は、$H$ なら $x_1=2$、$T$ なら $x_1=-1$ なので、$x_1\ne0$ は必ず成り立つ。2回目までの結果に応じると、 $$\begin{array}{c|c|c} \text{2回の結果}&x_2&\text{確率}\\ \hline HH&4\text{（範囲外で停止）}&p^2\\ TT&-2\text{（範囲外で停止）}&q^2\\ HT,\ TH&1&2pq \end{array}$$ である。最初の2行は3回目も座標が変わらず非零。$x_2=1$ の場合、3回目に $H$ なら $x_3=3$、$T$ なら $x_3=0$ となるため、条件を満たす確率は $2pq\cdot p=2p^2q$。よって $$P(x_1\ne0,\ x_2\ne0,\ x_3\ne0)=p^2+q^2+2p^2q.$$

(2) $0$ から3回後に再び $0$ となる結果は $HTT$ と $THT$ の2通りだけで、それぞれの確率は $pq^2$。従って3回で戻る確率を $r=2pq^2$ とおける。3回後に戻らない経路は範囲外へ出て停止し、その後0には戻らない。戻るたび同じ状態から始まるので $$P(x_{3k}=0)=r^k=(2pq^2)^k.$$ また、停止していない経路で0に戻る時刻は3の倍数だけであるから $$P(x_{3k+1}=0)=0,\qquad P(x_{3k+2}=0)=0.$$

(3) $x_{3k-1}=x_{3k}$ となるのは、時刻 $3k-1$ までに範囲外へ出て、その後停止している場合に限る。さらに $x_{3k-2}\ne x_{3k-1}$ より、範囲外へ出たのがちょうど時刻 $3k-1$ の場合に限られる。時刻 $3k-3$ に原点にいる確率は $r^{k-1}$（$k=1$ では初期状態 $x_0=0$）。その次に $H$ で2へ行き、続けて $H$ で4へ出る確率は $p^2$。また $T$ で−1へ行き、続けて $T$ で−2へ出る確率は $q^2$。したがって求める確率は $$r^{k-1}(p^2+q^2)=(2pq^2)^{k-1}(p^2+q^2).$$