2富山大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1) $a_1=2\sqrt2=2^{3/2}$ だから $\displaystyle b_1=\frac32$。$n\ge2$ の積の条件の両辺に $\log_2$ をとると $$\displaystyle \frac1n(b_1+b_2+\cdots+b_{n-1})+\frac2n b_n=3,$$ すなわち $b_1+\cdots+b_{n-1}+2b_n=3n$。$n=2$ では $b_1+2b_2=6$ より $\displaystyle b_2=\frac94$。また $n\ge3$ について、隣り合う式を引くと $$2b_n-b_{n-1}=3.$$ 従って $\displaystyle b_n-3=\frac12(b_{n-1}-3)$。初項 $\displaystyle b_1=\frac32$ から $$\displaystyle b_n=3+\frac{b_1-3}{2^{n-1}}=3-\frac3{2^n}.$$

(2) $c_n$ の定義と対数の積の公式から $$\displaystyle \log_2 c_n=\sum\limits _{j=1}^n b_j=3n-3\sum\limits _{j=1}^n\frac1{2^j} =3n-3(1-2^{-n})=3n-3+\frac3{2^n}.$$ よって $c_n=2^{\,3n-3+3/2^n}$。

(3) $n=11$ を代入すると $\displaystyle \log_2 c_{11}=30+\frac3{2048}$。与えられた近似値を使えば $$\displaystyle \log_{10}c_{11}=\left(30+\frac3{2048}\right)0.3010\approx9.03044,$$ したがって $10^9\le c_{11}<10^{10}$ であり、求める整数は $\boxed{k=9}$。

(1) 対数をとると $b_1+\cdots+b_{n-1}+2b_n=3n$。$\displaystyle b_1=\frac32$、$n=2$ で $\displaystyle b_2=\frac94$、隣り合う式を引くと $2b_n-b_{n-1}=3$。ゆえに $\displaystyle b_n=3-\frac3{2^n}$。 (2) $\displaystyle \log_2 c_n=\sum\limits _{j=1}^n b_j=3n-3\sum\limits _{j=1}^n2^{-j}=3n-3+\frac3{2^n}$、したがって $\displaystyle c_n=2^{3n-3+\frac3{2^n}}$。 (3) $\displaystyle \log_{10}c_{11}=(30+\frac3{2048})\cdot0.3010\approx9.03044$ より $k=9$。