1富山大学 2015年 数学 第1問解答・解説

(1) $h(x)=f(x)-g(x)$ とおくと，$h(a)=h(b)=0$，$h''(x)=f''(x)<0$ である。従って $h'$ は $a<x<b$ の範囲で、$x_1<x_2$ ならば $h'(x_1)>h'(x_2)$ が成り立つ。$a<x<b$ を満たす任意の $x$ に対し，平均値の定理より $a<c_1<x$, $x<c_2<b$ を満たす $c_1,c_2$ が存在して $$\displaystyle h'(c_1)=\frac{h(x)}{x-a},\qquad h'(c_2)=\frac{-h(x)}{b-x}.$$ $c_1<c_2$ より $h'(c_1)>h'(c_2)$。分母は正なので，この不等式を整理すると $h(x)>0$。従って $f(x)>g(x)$。

(2) $\log x$ は $x>0$ で二階微分が $-1/x^2<0$ である。(1)を範囲 $j\le x\le j+1$ に適用すると，端点を結ぶ一次関数 $\ell_j(x)=(j+1-x)\log j+(x-j)\log(j+1)$ に対して，$j<x<j+1$ で $\log x>\ell_j(x)$。これを積分すると $$\displaystyle \int_j^{j+1}\log x\,dx>\int_j^{j+1}\ell_j(x)\,dx=\frac{\log j+\log(j+1)}2.$$

(3) (2)を $j=1,\ldots,n-1$ について加える。左辺の和は $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{n-1}\frac{\log j+\log(j+1)}2 =\log((n-1)!)+\frac12\log n =\frac12\log\bigl(n!(n-1)!\bigr),$$ 一方，右辺の積分和は $$\displaystyle \int_1^n\log x\,dx=n\log n-n+1.$$ したがって $\displaystyle \frac12\log(n!(n-1)!)<n\log n-n+1$。両辺を指数関数で移せば $$\sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1}.$$

$h(x)=f(x)-g(x)$を置くと端点で0、二階導関数は負。任意の内点$x$を左右に分けた平均値の定理の2点では$h'$が左の方で大きいため、$\displaystyle \frac{h(x)}{x-a}>-\frac{h(x)}{b-x}$となり$h(x)>0$が従う。これが(1)。$\log x$にも同じ補題を各単位区間で使うと、曲線の下の積分は端点を結ぶ台形の面積より大きくなり(2)。これらを$j=1$から$n-1$まで加えると、左辺は$\log\sqrt{n!(n-1)!}$、右辺は$\displaystyle \int_1^n\log x\,dx=n\log n-n+1$。指数関数を適用して(3)を得る。