2札幌医科大学 2015年 数学 第2問解答・解説

初めの袋には白玉が1個、玉は全部で4個あるから、 $$\displaystyle q_1=\frac14$$ である。第$n$回目の試行後には玉が$n+4$個ある。

(1) 第$n$回目に白玉を加えるのは、白玉を取り出して確率$p$で同じ色の白玉を加える場合、または赤玉を取り出して確率$1-p$で異なる色の白玉を加える場合である。したがって、その確率は $$p q_n+(1-p)(1-q_n)$$ である。加えた白玉が次の試行で選ばれる確率は、袋の玉が$n+4$個であることから$1/(n+4)$である。よって求める確率は $$\displaystyle \frac{p q_n+(1-p)(1-q_n)}{n+4}.$$

(2) 第$n$回目に加えた玉が第$n+1$回目に選ばれて白玉である確率は(1)の値である。一方、その玉が選ばれない確率は$1-1/(n+4)=(n+3)/(n+4)$であり、このとき第$n+1$回目に白玉を取り出す条件つき確率は問題文の条件より$q_n$である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} q_{n+1} &=\frac{p q_n+(1-p)(1-q_n)}{n+4}+\frac{n+3}{n+4}q_n\\ &=\frac{(n+2+2p)q_n+1-p}{n+4}. \end{aligned}$$

(3) $q_n=r_n+1/2$を(2)に代入すると $$\displaystyle \begin{aligned} r_{n+1} &=q_{n+1}-\frac12\\ &=\frac{(n+2+2p)(r_n+1/2)+1-p}{n+4}-\frac12\\ &=\frac{n+2+2p}{n+4}r_n. \end{aligned}$$ また$r_1=q_1-1/2=-1/4$である。

(4) (3)を繰り返し用いると $$\displaystyle r_n=-\frac14\prod\limits _{k=1}^{n-1}\frac{k+2+2p}{k+4}$$ となる。ただし$n=1$のとき積は$1$とする。したがって、$p=0$では $$\displaystyle r_n=-\frac14\prod\limits _{k=1}^{n-1}\frac{k+2}{k+4} =-\frac{3}{(n+2)(n+3)}, \qquad q_n=\frac12-\frac{3}{(n+2)(n+3)}.$$ $p=1/2$では $$\displaystyle r_n=-\frac14\prod\limits _{k=1}^{n-1}\frac{k+3}{k+4} =-\frac{1}{n+3}, \qquad q_n=\frac12-\frac{1}{n+3}.$$ $p=1$では各因子が$1$なので $$\displaystyle r_n=-\frac14, \qquad q_n=\frac14.$$ いずれの式も$n=1$で$q_1=1/4$となる。また$p=0$の式は$n=2$で$q_2=7/20$となり、(2)に$q_1=1/4$を代入した値と一致する。

次回に新しい玉を選ぶ分岐と、選ばず既存の袋から引く分岐に分けて一次漸化式を導き、$\displaystyle r_n=q_n-\frac12$で積を簡約する。