札幌医科大学 2015年数学第3問解答・解説

数と式図形の性質

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1問題

札幌医科大学2015年度第3問

三角形 $ABC$ の重心を $G$ ，内心を $I$ とし， $BC=a,\ CA=b,\ AB=c$ とする。また直線 $AI$ が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とする。

(1) 線分 $BD$ の長さを $a,b,c$ を用いて表せ。

(2) 比 $AI:ID$ を $a,b,c$ を用いて表せ。

今後， $a+b+c=1$ とし，三角形 $BGC$ の面積を $S$ ，三角形 $BIC$ の面積を $T$ とおく。

(3) $\displaystyle \dfrac{T}{S}$ を $a$ を用いて表せ。

(4) $b<a<c$ とするとき， $\displaystyle \dfrac{T}{S}$ のとりうる値の範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad BD=\frac{ac}{b+c}\quad$ 。 (2) $\quad AI:ID=(b+c):a\quad$ 。 (3) $\quad T/S=3a\quad$ 。 (4) $\displaystyle \quad \frac34<T/S<\frac32\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 角の二等分線の定理より $BD:DC=c:b$ 、かつ $BD+DC=a$ だから $BD=ac/(b+c)$ 。 (2) 三角形の面積を $K$ 、AからBCへの高さをh、内接円半径をr、周長をpとすると $K=ah/2=pr/2$ より $r/h=a/p$ 。AからBCまでの距離はh、IからBCまでの距離はrであり、 $AI:ID=(p-a):a=(b+c):a$ 。 (3) 重心GのBCへの距離は $h/3$ なので $S=ah/6$ 、 $T=ar/2$ 。したがって $T/S=3r/h=3a/(a+b+c)=3a$ 。 (4) 三角形条件 $a<b+c$ と $c<a+b$ 、および $b<a<c$ 、周長1から $a<1/2$ かつ $1/2<a+b<2a$ 、ゆえに $1/4<a<1/2$ 。逆にこの開区間のaに対して $\displaystyle 1/2-a<b<\min(a,1-2a)$ を選び $c=1-a-b$ とすれば全条件を満たせる。したがって $T/S=3a$ の値域は $3/4<T/S<3/2$ 。

この問題で使う考え方

角の二等分線定理
面積比と高さ
実現可能性の区間構成

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