4名古屋大学 2006年 数学 第4問解答・解説

解答 向かい合う面の組を $G_1=\{1,6\},G_2=\{2,5\},G_3=\{3,4\}$ とする。底面が $m$ のとき，隣り合う4面は $m$ と $7-m$ 以外の4面で，数字の合計は $14$ である。従って面 $k$（$k\ne m,7-m$）が次の底面となる確率は $k/14$。

各組の数字の和は7なので，ある組のどちらかが次の底面になる確率は，直前の底面が同じ組でなければ $7/14=1/2$，同じ組なら0である。よって組の確率は $g_{n+1}=(1-g_n)/2$。初期組は $G_1$ であるから， $$\displaystyle q_n=\frac13+\frac23\left(-\frac12\right)^n,\qquad r_n=s_n=\frac13-\frac13\left(-\frac12\right)^n\quad(n\ge1).$$

1回目は底面1に隣り合う2,3,4,5の数字に比例して選ばれるため $$\displaystyle p_1(1)=p_1(6)=0,\quad (p_1(2),p_1(3),p_1(4),p_1(5))=\left(\frac17,\frac3{14},\frac27,\frac5{14}\right).$$ $n\ge2$ とし $u=(-1/2)^{n-1}$ とおく。組 $G_1$ の確率は $q_{n-1}=1/3+2u/3$，他の各組の確率は $1/3-u/3$。組 $G_j$ の面 $m$ へ移る確率は $m/14$ を，直前が同じ組でない確率に掛ければよい。従って $$\displaystyle p_n(m)=\begin{cases}\dfrac{m}{21}(1-u),&m=1,6,\\[2pt]\dfrac{m}{42}(2+u),&m=2,3,4,5.\end{cases}$$ これで全ての $p_n(m)$ が得られる。