3名古屋大学 2006年 数学 第3問解答・解説

$O=(0,0), A=(4,2), B=(6,0)$ とする。平面上の直線 $\ell$ に関して $A$ と対称な点が線分 $OB$ 上にあるとき、$\ell$ をピッタリ直線という。(1) $P=(p,q)$ を通るピッタリ直線 $\ell$ に関して $A$ と対称な点を $A'=(t,0)$（$0\le t\le6$）とするとき、$p,q,t$ の関係式を求めよ。(2) ピッタリ直線が2本通る点 $P$ の存在範囲を求め図示せよ。図には三角形 $OAB$ も描くこと。(3) 点 $P$ を通る2本のピッタリ直線が直交するような $P$ の存在範囲を求め図示せよ。

解答

(1) $\ell$ は線分 $AA'$ の垂直二等分線である。$P$ が $\ell$ 上にあることは $PA=PA'$ と同値だから $$(p-4)^2+(q-2)^2=(p-t)^2+q^2.$$ 整理して $$t^2-2pt+8p+4q-20=0. \tag{1}$$

(2) 直線に対応する $t$ は (1) の根であり、ピッタリ直線が2本ある条件は、異なる2根がともに $0\le t\le6$ の範囲にあることである。根を $t_1,t_2$ とすると $$t_1+t_2=2p,\qquad t_1t_2=8p+4q-20.$$ 上側境界は $t_1=t_2=p$ の場合で、$q=1+(p-4)^2/4$。下側境界は片方の根が端点になる場合であり、$t_1=0$ なら $q=5-2p$（$0\le p\le3$）、$t_2=6$ なら $q=p-4$（$3\le p\le6$）。したがって存在範囲は $$0<p<6,\qquad L(p)\le q<U(p),$$ ただし $$\displaystyle L(p)=\begin{cases}5-2p&(0<p\le3),\\p-4&(3\le p<6),\end{cases} \qquad U(p)=1+\frac{(p-4)^2}{4}.$$ 下側境界を含み、上側の放物線境界を含まない。図ではこの範囲を塗り、三角形 $O(0,0),A(4,2),B(6,0)$ を同じ座標上に描く。

(3) $\ell_t$ の方向ベクトルは $(2,t-4)$ と取れる。二つの直線が直交する条件は $$(2,t_1-4)\cdot(2,t_2-4)=4+(t_1-4)(t_2-4)=0.$$ 根の和・積を使うと左辺は $t_1t_2-4(t_1+t_2)+20=4q$ だから、条件は $q=0$ である。これを (2) の範囲と交わらせると $$\displaystyle \boxed{\{(p,0):\tfrac52\le p\le4\}}$$ となる。端点では根はそれぞれ $(0,5)$、$(2,6)$ で、いずれも異なる2根である。

上図の青色領域は上側の破線を除き、折れ線を含む。三角形は $OAB$。 　 条件の十分性も確認する。$F(t)=t^2-2pt+8p+4q-20$ の頂点が区間内部 $0<p<6$ にあり、$F(p)<0$、$F(0),F(6)\ge0$ であれば、頂点の左右に根が各1個ある。したがって2根はともに $0\le t\le6$ の範囲にあり、記した条件は必要十分である。異なる $t$ が同じ直線を与えると、その直線についての $A$ の反射像が2個になり矛盾する。