広島大学 2008年数学第3問解答・解説

場合の数と確率数列

このページには広告が含まれます。

1問題

広島大学2008年度第3問

2点 $A,B$ と、その上を動く1個の石がある。この石は、時刻 $t=0$ では点 $A$ にあり、その後、次の規則(a)、(b)にしたがって動く。

各 $t=0,1,2,\ldots$ に対して、

(a) 時刻 $t$ に石が点 $A$ にあれば、時刻 $t+1$ に石が点 $A$ にある確率は $c$ 、点 $B$ にある確率は $1-c$ である。

(b) 時刻 $t$ に石が点 $B$ にあれば、時刻 $t+1$ に石が点 $B$ にある確率は $2c$ 、点 $A$ にある確率は $1-2c$ である。

ただし、 $c$ は $\displaystyle 0<c<\frac12$ を満たす定数とする。

いま、 $n$ を自然数とし、時刻 $t=n$ において石が点 $A$ にある確率を $p_n$ とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $p_1,p_2$ を求めよ。

(2) $p_{n+1}$ を $p_n$ と $c$ を用いて表せ。

(3) $p_n$ を求めよ。

(4) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}p_n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) p_1=c, p_2=3c^2-3c+1$ 。 $(2) p_{n+1}=(3c-1)p_n+1-2c$ 。 $(3) p_n=((1-2c)+(1-c)(3c-1)^n)/(2-3c)$ 。 $\displaystyle (4) \lim\limits _{n\to\infty}p_n=(1-2c)/(2-3c)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 初めは点Aにあり、そのまま残る確率が $c$ なので $p_1=c$ 。2回目はAから残る場合とBから戻る場合を足して $p_2=c^2+(1-c)(1-2c)=3c^2-3c+1.$ (2) 時刻 $n$ にA、Bにいる確率はそれぞれ $p_n,1-p_n$ だから $p_{n+1}=cp_n+(1-2c)(1-p_n)=(3c-1)p_n+1-2c.$ (3) 定数解 $q=(1-2c)/(2-3c)$ を引くと $p_{n+1}-q=(3c-1)(p_n-q).$ $p_0=1$ より $p_n-q=(3c-1)^n(1-q)$ 。従って $\displaystyle p_n=\frac{1-2c+(1-c)(3c-1)^n}{2-3c}.$ (4) $0<c<1/2$ から $-1<3c-1<1/2$ 。公比の絶対値は1未満なので $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}p_n=\frac{1-2c}{2-3c}.$

この問題で使う考え方

全確率
一次漸化式

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。