6京都大学 2012年 数学 第6問解答・解説

$\displaystyle L=\frac{1+\sqrt3}{2},\quad U=1+\sqrt3$ とし、$a_n=\Pr(Y_n<L),\quad b_n=\Pr(L<Y_n<U),\quad c_n=\Pr(Y_n>U)$。$Y_n$ は有理数で境界は無理数だから等号なし。サイコロ目1では区間に入るのは$Y_{n-1}<U$、目2では$Y_{n-1}>L$、目3以上では入らない。従って $\displaystyle b_n=\frac{(a_{n-1}+b_{n-1})+(b_{n-1}+c_{n-1})}{6}=\frac{1+b_{n-1}}6$。$\displaystyle b_1=\frac16$を解けば $\displaystyle b_n=\frac15-\frac1{5\cdot6^n}=\frac{6^n-1}{5\cdot6^n}$。

原文p.3の第6問とp.1を実視認。各 $Y_n$ は有理数、$\displaystyle L=\frac{1+\sqrt3}{2},\quad U=1+\sqrt3$は無理数なので境界一致なし。$X_n\in\{1,2,3,4,5,6\}$の遷移を$L,U$の逆数関係で分類し、区間内確率$\displaystyle b_n=\frac{1+b_{n-1}}6$、$\displaystyle b_1=\frac16$を得る。解いて$\displaystyle p_n=b_n=\frac{6^n-1}{5\cdot6^n}$。旧解答と一致。