4京都大学 2012年 数学 第4問解答・解説

(1) $\alpha=\sqrt[3]2=p/q$（整数$p,q$は互いに素、$q>0$）と仮定する。$p^3=2q^3$より$p$は偶数。$p=2r$を代入すると$q^3=4r^3$より$q$も偶数となり既約性に矛盾する。従って$\alpha$は無理数。 (2) 有理数係数の多項式を割り算すると $$P(x)=(x^3-2)Q(x)+Ax^2+Bx+C\quad(A,B,C\text{は有理数})$$ となる。$\alpha^3=2$と$P(\alpha)=0$から$A\alpha^2+B\alpha+C=0$。 $A=0$なら、$B\ne0$は$\alpha=-C/B$と矛盾するので$B=C=0$。 $A\ne0$と仮定し$u=-B/A,v=-C/A$とおくと$\alpha^2=u\alpha+v$。もう1回$\alpha$を掛け、代入すれば $$2=(u^2+v)\alpha+uv.$$ $u^2+v\ne0$なら$\alpha$が有理数になるから、$u^2+v=0,uv=2$。ゆえに$u^3=-2$であり、有理数$-u$の三乗が2となって(1)に反する。 従って$A\ne0$は不可能で、剰余は0。$P(x)$は$x^3-2$で割り切れる。