京都大学
2012年度の数学京都大学・全6問
- 1次の各問に答えよ。 (1) a が正の実数のとき limn→∞(1+aⁿ)^(1/n) を求めよ。 (2) 定積分 ∫1^(√3) (1/x²) log√(1+x²) dx の値を求めよ。
- 2正四面体 OABC において，点 P，Q，R をそれぞれ辺 OA，OB，OC 上にとる。ただし P，Q，R は四面体 OABC の頂点とは異なるとする。△PQR が正三角形ならば，3辺 PQ，…
- 3実数 x，y が条件 x² + xy + y² = 6 を満たしながら動くとき x²y + xy² − x² − 2xy − y² + x + y がとりうる値の範囲を求めよ。
- 4(1) ∛2 が無理数であることを証明せよ。 (2) P(x) は有理数を係数とする x の多項式で，P(∛2) = 0 を満たしているとする。このとき P(x) は x³ − 2 で割り切れ…
- 5次の命題(p)，(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ。正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ。 (p) 正 n 角形の頂点から3点を選んで内角の1つが6…
- 6さいころを n 回投げて出た目を順に X₁，X₂，…，Xₙ とする。さらに Y₁ = X₁，Yₖ = Xₖ + 1/Yₖ₋₁ (k = 2，…，n) によって Y₁，Y₂，…，Yₙ を定める。…