5京都大学 2012年 数学 第5問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} \text{(p)}\quad & \frac{\text{点 }P\text{ を含まない弧 }QR\text{ の長さ}}{\text{円周全体の長さ}}=\frac{60^\circ}{180^\circ}=\frac13.\\ &\text{正 }n\text{角形で弧 }QR\text{ は辺 }m\text{ 個分なので }\frac mn=\frac13,\\ & n=3m\quad(m\text{ は整数}),\quad\text{したがって}\ n\text{ は3の倍数。}\\[2pt] \text{(q)}\quad & AB=\frac65,\quad AC=2,\quad BC=3,\\ & AB=\frac65,\quad AD=\frac{29}{10},\quad BD=\frac{31}{10}.\\ & |3-2|<\frac65<3+2,\qquad \left|\frac{31}{10}-\frac{29}{10}\right|<\frac65<\frac{31}{10}+\frac{29}{10}.\\ & AC<AD,\quad BC<BD.\\ &\cos C=\frac{2^2+3^2-(6/5)^2}{2\cdot2\cdot3}=\frac{289}{300},\\ &\cos D=\frac{(29/10)^2+(31/10)^2-(6/5)^2}{2(29/10)(31/10)}=\frac{829}{899}.\\ &289\cdot899=259811>248700=829\cdot300,\\ &\cos C>\cos D\quad\text{より}\quad C<D\quad(0^\circ<C,D<180^\circ).\\ &\text{したがって主張 }C>D\text{ は偽。} \end{aligned}$$

(p) 円周角が $60^\circ$ なら、点 $P$ を含まない弧 $QR$ は $120^\circ$ で、全周の $1/3$。正 $n$ 角形ではこの弧は辺 $m$ 個分なので $m/n=1/3$、$n$ は3の倍数。(q) 共通辺 $AB=6/5$、他の辺を $(AC,BC)=(2,3)$、$(AD,BD)=(29/10,31/10)$ とすると、両三角形の三角不等式は成立し、2本の不等号も満たす。余弦定理で $\cos C=289/300>829/899=\cos D$ となるので $C<D$。よって主張の反例である。