1岐阜大学 2012年 数学 第1問解答・解説

四角形 $ABCD$ の辺の長さは $AB=CD=1$, $BC=DA=3$、対角線の長さは $AC=x$, $BD=y$ である。

(1) 三角形 $ABC$ の辺は $1,3,x$ である。三角不等式より $2<x<4$。三角形 $ABC$ と $CDA$ はそれぞれ辺の長さが $1,3,x$ なので合同であり、四角形の面積は三角形 $ABC$ の面積の2倍である。ヘロンの公式を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} S&=2\sqrt{\frac{x+4}{2}\cdot\frac{x+2}{2}\cdot\frac{x-2}{2}\cdot\frac{4-x}{2}}\\ &=\frac12\sqrt{(x^2-4)(16-x^2)}. \end{aligned}$$ $u=x^2$ とおけば $$(x^2-4)(16-x^2)=36-(u-10)^2\leq36.$$ 等号は $u=10$、すなわち $x=\sqrt{10}$ のときに成立する。したがって $$\boxed{S_0=3}.$$

(2) $\displaystyle S=\frac13S_0=1$ より $$(x^2-4)(16-x^2)=4.$$ $u=x^2$ とおくと $36-(u-10)^2=4$ だから $$x^2=u=10\pm4\sqrt2.$$ また、$AB=CD$ かつ $BC=DA$ より四角形は平行四辺形である。平行四辺形の対角線について $$x^2+y^2=2(AB^2+BC^2)=2(1^2+3^2)=20.$$ 条件 $x\leq y$ により $x^2$ は二つの値の小さい方である。ゆえに $$\boxed{x^2=10-4\sqrt2,\qquad y^2=10+4\sqrt2}.$$

(3) 三角形 $ABC$ に余弦定理を用いると $$\displaystyle \cos\angle ACB=\frac{x^2+3^2-1^2}{2\cdot x\cdot3} =\frac{x^2+8}{6x} =\frac{x}{6}+\frac{4}{3x}.$$ $x>0$ なので相加相乗平均より $$\displaystyle \frac{x}{6}+\frac{4}{3x}\geq2\sqrt{\frac{x}{6}\cdot\frac{4}{3x}} =\frac{2\sqrt2}{3},$$ 等号は $\displaystyle \frac{x}{6}=\frac{4}{3x}$、すなわち $x^2=8$ のときに成立する。この値 $x=2\sqrt2$ は $2<x<4$ を満たす。角 $\angle ACB$ は $0$ と $\pi$ の間で、余弦は角とともに減少するから、角が最大となるのは余弦が最小となるときである。したがって $$\boxed{x=2\sqrt2}.$$