14自治医科大学 2012年 数学 第14問解答・解説

辺$BC=2$、$CA=AB=6$である。$AB=AC$より、$A$から$BC$に下ろした垂線は$BC$を二等分する。垂線の足を$D$とすると$BD=1$だから、三平方の定理より $$\displaystyle AD=\sqrt{6^2-1^2}=\sqrt{35},\qquad [ABC]=\frac12\cdot2\cdot\sqrt{35}=\sqrt{35}.$$ 半周長は$s=(2+6+6)/2=7$。内心から各辺に下ろした垂線の長さはいずれも$r$なので、三角形の面積を三つの小三角形に分けると$[ABC]=rs$。したがって $$\displaystyle r=\frac{\sqrt{35}}7.$$ 次に、面積を$K$、$BC,CA,AB$をそれぞれ$a,b,c$とする。正弦定理から$a=2R\sin A$、また$\displaystyle K=\frac12bc\sin A$だから、$K=abc/(4R)$。よって $$\displaystyle R=\frac{abc}{4K}=\frac{2\cdot6\cdot6}{4\sqrt{35}}=\frac{18}{\sqrt{35}}.$$ 以上より $$\displaystyle \frac{18r}{R}=18\cdot\frac{\sqrt{35}/7}{18/\sqrt{35}}=5.$$ 選択肢では$5$は$\text{ハ}$に対応する。