自治医科大学 2012年数学第12問解答・解説

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1問題

自治医科大学2012年度第12問

放物線 $C:y=x^{2}-2$ と直線 $L:y=m(2x-3)$ （ $m$ は実数）について考える。 $C$ と $L$ が相異なる2点で交わるとき， $m$ のとり得る値の範囲は $m<a,\ m>b\ (a<b)$ となる。 $b$ の値を求めよ。

選択肢：ア：0，カ：1，サ：2，タ：3，ナ：4，ハ：5，マ：6，ヤ：7，ラ：8，ワ：9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

交点条件を二次方程式の判別式が正である条件に置き換えた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$b=2\;$ （ $\mathrm{サ}$ ）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

交点の $x$ 座標は $x^2-2=m(2x-3)$ 、すなわち $x^2-2mx+3m-2=0$ の実数解である。この二次方程式は $x^2$ の係数が1なので、異なる2実根をもつ条件は判別式 $D>0$ 。計算すると $D=4m^2-4(3m-2)=4(m-1)(m-2)$ であり、 $D>0$ は $m<1$ または $m>2$ と同値である。問題の表記 $m<a,\ m>b\ (a<b)$ から $a=1,\ b=2$ 。等号の場合は重解となるので含まれない。選択肢は共通指示の通り、ア=0、カ=1、サ=2、タ=3、ナ=4、ハ=5、マ=6、ヤ=7、ラ=8、ワ=9である。したがって答えはサである。

この問題で使う考え方

二次方程式の判別式

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