23自治医科大学 2012年 数学 第23問解答・解説

曲線を $f(x)=x^3+6x^2+6x-2$ とおくと $$f'(x)=3x^2+12x+6.$$ 接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線の傾きが6である条件は $$3t^2+12t+6=6 \quad\text{すなわち}\quad 3t(t+4)=0,$$ したがって $t=0,-4$。接線の方程式は $y=f'(t)(x-t)+f(t)$ であるから、傾き6の接線の切片は $f(t)-6t$ である。$t=0$ では $f(0)-0=-2$、$t=-4$ では $$f(-4)=-64+96-24-2=6,\qquad f(-4)-6(-4)=30.$$ よって2つの接線は $y=6x-2,\ y=6x+30$ である。したがって $$\displaystyle \frac{a+b}{4}=\frac{-2+30}{4}=7,$$ 選択肢ではヤである。