25自治医科大学 2012年 数学 第25問解答・解説

放物線と $x$ 軸の交点は $$-2x^2+3x-1=-(2x-1)(x-1)=0$$ より $\displaystyle x=\frac12,1$。二次の係数が負なので放物線は下向きに開き、2つの交点の間で $x$ 軸より上にある。したがって囲まれる部分の面積は $$\displaystyle S=\int_{1/2}^{1}(-2x^2+3x-1)\,dx =\left[-\frac23x^3+\frac32x^2-x\right]_{1/2}^{1}.$$ 上端での値は $\displaystyle -\frac16$、下端での値は $$\displaystyle -\frac1{12}+\frac38-\frac12=-\frac5{24}.$$ よって $\displaystyle S=-\frac16-(-\frac5{24})=\frac1{24}$ であり、 $$24S=1.$$ 選択肢ではカである。