自治医科大学 2012年数学第2問解答・解説

数と式

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1問題

自治医科大学2012年度第2問

$(a^{3}+4a^{2}b-ab^{2}+3b^{3})(-a^{4}+2a^{3}b+3a^{2}b^{2}+b^{4})$ を展開するとき， $a^{4}b^{3}$ の係数の値を求めよ。

選択肢：ア：0，カ：1，サ：2，タ：3，ナ：4，ハ：5，マ：6，ヤ：7，ラ：8，ワ：9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

係数
7
ヤ

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$a^4b^3$ を作る項を、2つの因数から選ぶ。第1因数の $4a^2b$ と第2因数の $3a^2b^2$ から $4\cdot3=12$ が寄与し、第1因数の $-ab^2$ と第2因数の $2a^3b$ から $(-1)\cdot2=-2$ が寄与する。また、第1因数の $3b^3$ と第2因数の $-a^4$ から $3\cdot(-1)=-3$ が寄与する。残る第1因数の $a^3$ からは、第2因数に必要な $ab^3$ の項がないため寄与しない。従って係数は $12-2-3=\boxed{7}.$

この問題で使う考え方

指数の和が指定単項式に一致する項を列挙
係数の積の加算

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