4島根大学 2012年 数学 第4問解答・解説

高校範囲　 連立一次方程式の係数行列式、代入、必要十分条件の論証のみを使う。

系を $(*)$ とする。係数行列の行列式は $$\Delta=\begin{vmatrix}2&a-1\\a&a^2\end{vmatrix}=2a^2-a(a-1)=a(a+1).$$ ただし問題の条件から $a\ne0$。

(1) 2組以上の解を持つためには、二つの式が従属で整合する必要があるので $\Delta=0$。$a\ne0$ より $a=-1$。このとき $$2x-2y=b,\qquad -x+y=1.$$ 第2式の2倍は $2x-2y=-2$ だから、整合するのは $b=-2$ の場合に限る。このとき2式は同じ直線を表し、解は無数にある。 $$\boxed{(a,b)=(-1,-2)}.$$

(2) $(x,y)=(1,2)$ を両式に代入すると $$b=2+(a-1)2=2a, \qquad a+2a^2=1.$$ 後者は $(2a-1)(a+1)=0$ と因数分解できるため、候補は $\displaystyle (a,b)=(\tfrac12,1)$ または $(-1,-2)$。前者は $\Delta=a(a+1)=3/4\ne0$ なので解は一意。後者は(1)で確認した通り解が無数にある。従って条件を満たすのは $$\displaystyle \boxed{(a,b)=\left(\frac12,1\right)}.$$

(3) $x=y$ とおくと方程式は $$(a+1)x=b,\qquad a(a+1)x=1.$$ 第2式より $a=-1$ は不可能であり、$a\ne0$ はもともとの条件。$a\ne-1$ なら $x=1/[a(a+1)]$ と定まり、第1式が成り立つための条件は $$\displaystyle (a+1)\frac1{a(a+1)}=b\quad\text{すなわち}\quad b=\frac1a.$$ 逆に $a\ne0,-1$ かつ $b=1/a$ ならこの $x=y=1/[a(a+1)]$ は2式を満たす。よって必要十分条件は $$\displaystyle \boxed{a\ne0,-1\quad\text{かつ}\quad b=\frac1a}.$$

独立判定　 全小問を独立に解き、解の個数を係数行列式と従属性で判定。数学はPASS。単元：数学II・連立一次方程式、二次方程式。方法：行列式・代入・必要十分性の両方向確認。テーマ：パラメータ付き連立一次方程式の解の個数と解の条件。