3島根大学 2012年 数学 第3問解答・解説

(1) $$\displaystyle \begin{aligned} f'(x) &=\log\left(1+\frac1x\right) +(x+\tfrac12)\left(\frac1{x+1}-\frac1x\right)\\ &=\log\left(1+\frac1x\right) -\frac12\left(\frac1x+\frac1{x+1}\right),\\ f''(x) &=-\frac1{x(x+1)}+\frac1{2x^2}+\frac1{2(x+1)^2}\\ &=\frac1{2x^2(x+1)^2}. \end{aligned}$$

(2) 上の式から、$x\to\infty$ のとき各項が $0$ に近づくので $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f'(x)=0.$$ また $t=1/x$ とおくと $t>0$ であり、 $$\displaystyle f'(x)=\log(1+t)-\frac12\left(t+\frac{t}{1+t}\right)=-g(t), \quad g(t)=\frac12\left(t+\frac{t}{1+t}\right)-\log(1+t).$$ ここで $g(0)=0$ かつ $$\displaystyle g'(t)=\frac12\left(1+\frac1{(1+t)^2}\right)-\frac1{1+t} =\frac{t^2}{2(1+t)^2}>0\qquad(t>0).$$ したがって $g(t)>g(0)=0$ であり、$f'(x)=-g(t)<0$ である。

(3) (1)より $f''(x)>0$ ($x>0$) だから、グラフは定義域全体で下に凸である。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}f(x)=+\infty$$ なので $x=0$ は垂直漸近線である。$t=1/x$ とおくと $$\displaystyle f(x)=\left(1+\frac t2\right)\frac{\log(1+t)}{t}\longrightarrow 1 \qquad(t\to0+),$$ よって $y=1$ は水平漸近線である。さらに (2) より $f$ は単調減少し、$x\to\infty$ で $1$ に近づくので、曲線は $y=1$ より上側から近づく。

概形は次のとおりである。