3岡山大学 2012年 数学 第3問解答・解説

(1) $\displaystyle f(t)=\dfrac{e^t}{t}$（$t>0$）とすると $$\displaystyle f'(t)=\frac{e^t(t-1)}{t^2}.$$ $e^t>0,\ t^2>0$ より、$0<t<1$ で $f'<0$、$t>1$ で $f'>0$。従って $t=1$ で最小となり、最小値は $e$。

(2) 共有点では $e^{x^2}=ax^2$。$x=0$ は解でないので $t=x^2>0$ とおけば $f(t)=a$。$f$ は $0<t<1$ で減少、$t>1$ で増加し、最小値 $e$ をとる。また $$\displaystyle \lim\limits _{t\to0+}\frac{e^t}{t}=+\infty,\qquad \lim\limits _{t\to+\infty}\frac{e^t}{t}=+\infty$$ （後者は問題文で使用可）。したがって $0<a<e$ なら解なし、$a=e$ なら $t=1$ のみ、$a>e$ なら正の解が $0<t<1$ と $t>1$ に1つずつある。各正の $t$ は $x=\pm\sqrt t$ の2点に対応するから、共有点数はそれぞれ0、2、4。

(3) 共有点が2個のとき $a=e$、交点は $x=\pm1$。$0\le x\le1$ では $f(x^2)\ge e$ より $e^{x^2}\ge ex^2$。領域の高さは $e^{x^2}-ex^2$ で、$y$ 軸対称だから円筒殻で $$\displaystyle \begin{aligned} V&=2\pi\int_0^1 x(e^{x^2}-ex^2)\,dx\\ &=2\pi\left(\frac{e-1}{2}-\frac e4\right) =\frac{\pi(e-2)}2. \end{aligned}$$