4岡山大学 2012年 数学 第4問解答・解説

(1) $f_2(x)=f(f(x))$ であり、$f(y)=0$ となるのは $y=0,1$ のときである。したがって $f_2(x)=0$ は $f(x)=0$ または $f(x)=1$ と同値である。

$f(x)=0$ より $4x(1-x)=0$ だから $x=0,1$。また、$f(x)=1$ より $4x(1-x)=1$、すなわち $(2x-1)^2=0$ だから $\displaystyle x=\frac12$。

よって、求める解は $\displaystyle x=0,\frac12,1$ である。

(2) $f(x)=c$ を解くと、$4x(1-x)=c$ より $(2x-1)^2=1-c$ である。$0\leq c<1$ なので、 $$\displaystyle \alpha(c)=\frac{1-\sqrt{1-c}}2,\qquad \beta(c)=\frac{1+\sqrt{1-c}}2$$ と書け、いずれも0以上1以下である。これらは $f(x)=c$ の解だから $f(\alpha(c))=f(\beta(c))=c$ であり、仮定 $f_n(c)=0$ と定義から、 $$\begin{aligned} f_{n+1}(\alpha(c))&=f_n(f(\alpha(c)))=f_n(c)=0,\\ f_{n+1}(\beta(c))&=f_n(f(\beta(c)))=f_n(c)=0. \end{aligned}$$ よって、$\alpha(c),\beta(c)$ はともに $f_{n+1}(x)=0$ の解である。

(3) $0\leq x\leq1$ では $f(x)=4x(1-x)\geq0$ かつ $f(x)=1-(2x-1)^2\leq1$ だから、$0\le f(x)\le1$ である。また $f(0)=f(1)=0$ なので、定義を繰り返せばすべての $n\geq1$ について $f_n(0)=f_n(1)=0$ となり、$1$ は常に $f_n(x)=0$ の解である。

$f_{n+1}(x)=0$ の解は、$f(x)$ が $0\le t\le1$ かつ $f_n(t)=0$ を満たす $t$ となる $x$ である。$0\leq t<1$ なら、(2) の二つの解は異なるので $f(x)=t$ の解は二つある。一方 $t=1$ なら、$f(x)=1$ は $(2x-1)^2=0$ より $\displaystyle x=\frac12$ の一つだけである。異なる $t$ に対応する解は $f(x)$ の値が異なるため重ならない。$f_n$ の解のうち $1$ 以外は $S_n-1$ 個だから、 $$S_{n+1}=2(S_n-1)+1=2S_n-1.$$ $f_1(x)=f(x)=0$ の解は $0,1$ なので $S_1=2$。したがって $S_{n+1}-1=2(S_n-1)$ であり、 $$S_n-1=2^{n-1}(S_1-1)=2^{n-1},\qquad S_n=2^{n-1}+1\quad(n\geq1).$$ 以上。