1岡山大学 2012年 数学 第1問解答・解説

(1) $OP$ の傾きは $\sqrt3/2$。これに平行な直線を $$\displaystyle y=\frac{\sqrt3}{2}x+b$$ とする。楕円の式に代入すると $$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\left(\frac{\sqrt3}{2}x+b\right)^2=1 \quad\text{すなわち}\quad x^2+\sqrt3 b x+b^2-1=0.$$ 接するためには交点を表す二次方程式が重解をもつので、判別式を0とおけば $$(\sqrt3b)^2-4(b^2-1)=4-b^2=0,$$ よって $b=\pm2$。したがって接線は $$\displaystyle \boxed{y=\frac{\sqrt3}{2}x+2,\qquad y=\frac{\sqrt3}{2}x-2}.$$

(2) $Q=(x,y)$ とする。直線 $OP$ は $\sqrt3x-2y=0$、また $|OP|=\sqrt7/2$。点 $Q$ から直線 $OP$ までの距離は $|\sqrt3x-2y|/\sqrt7$ だから、底辺と高さで面積を表すと $$\displaystyle [OPQ]=\frac12\cdot\frac{\sqrt7}{2}\cdot\frac{|\sqrt3x-2y|}{\sqrt7} =\frac12\left|y-\frac{\sqrt3}{2}x\right|.$$ 楕円上の点を $x=2\cos\theta,\ y=\sin\theta$ とおけば $$\displaystyle [OPQ]=\frac12|\sin\theta-\sqrt3\cos\theta| =|\sin(\theta-\pi/3)|\le1.$$ 最大値は $1$。等号は $\theta=5\pi/6,11\pi/6$ のときに限り、それぞれ $$\displaystyle Q=\left(-\sqrt3,\frac12\right),\qquad Q=\left(\sqrt3,-\frac12\right).$$ 従って答えは $$\displaystyle \boxed{\text{最大値 }1,\quad Q=\left(-\sqrt3,\frac12\right),\left(\sqrt3,-\frac12\right)}.$$

編集ラベル

- 単元: 楕円・二次曲線、平面図形の面積 - 方法: 直線代入と判別式による接線判定、点と直線の距離、媒介変数表示と三角関数の合成 - テーマ: 楕円の指定方向の接線、楕円上での三角形面積の最大化

検算

(1) の2直線はともに傾き $\sqrt3/2$ で、楕円との交点方程式は重解となる。(2) では三角関数の合成の絶対値の上限が1で、等号条件から得た2点はいずれも楕円上にあり、最大値を与える全点を列挙している。