2島根大学 2012年 数学 第2問解答・解説

$\overrightarrow{OA}=\vec a,\ \overrightarrow{OP}=\vec p$ とする。四角形が退化していないので $\vec a,\vec p$ は独立であり、この二つを基底にした座標を使える。$O=(0,0),A=(1,0),P=(0,1),C=(h,k)$ と表す。

(1) $B$ は直線OA上にあるので $B=(b,0)$。Pが直線BC上にあることから、$P=B+\lambda(C-B)$ とおくと $$1=\lambda k,\qquad 0=b+\lambda(h-b).$$ これより $b=h/(1-k)$。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OB}=\frac{h}{1-k}\vec a.$$

(2) $D$ は直線OC上にあるので $D=(th,tk)$ とおける。またDは直線AP上にあり、その直線上では座標の和が1だから $t(h+k)=1$。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{h}{h+k}\vec a+\frac{k}{h+k}\vec p.$$

(3) AC上の点を $(1+r(h-1),rk)$ と表す。QはOP上にあるので第1座標が0、したがって $r=1/(1-h)$。よって $$\displaystyle x=\frac{k}{1-h},\qquad z=x-1=\frac{h+k-1}{1-h}.$$ 次に $B=(h/(1-k),0)$ とDを結ぶ線分上の点を $B+s(D-B)$ と表す。Rで第1座標が0になる条件から $y=k/(h+2k-1)$。したがって $$\displaystyle w=y-1=-\frac{h+k-1}{h+2k-1}.$$ これを代入して $$\displaystyle \frac{yz}{xw} =\frac{\dfrac{k}{h+2k-1}\dfrac{h+k-1}{1-h}} {\dfrac{k}{1-h}\left(-\dfrac{h+k-1}{h+2k-1}\right)} =-1.$$ 各分母が0なら指定された交点が有限に定まらないか、問題で求める比が定義されないため、与えられた設定の範囲では式変形できる。

答え

$(1)$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}=\frac{h}{1-k}\vec a$。 $(2)$ $\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{h}{h+k}\vec a+\frac{k}{h+k}\vec p$。 $(3)$ $\displaystyle \frac{yz}{xw}=-1$。