II順天堂大学 2012年 数学 第II問解答・解説

直線 $4x+3y-5=0$ 上の方向ベクトル $(3,-4)$ は、直線上の2点の差として得られる。$(4,a_2)$ がこれらすべてと直交するので $12-4a_2=0$、従って $\vec a=(4,3)$。原点から直線上への位置ベクトル $\vec b=(x,y)$ は $4x+3y=5$ を満たすから $\vec a\cdot\vec b=5$。

点 $C$ から直線への最短ベクトルは直線に垂直であり、したがって $\vec a$ に平行である。終点は $\vec c+t\vec a=(1+4t,-1+3t)$ なので、これを直線の式に代入して $$\displaystyle 4(1+4t)+3(-1+3t)-5=25t-4=0,\qquad t=\frac4{25}.$$ よって距離は $\lVert t\vec a\rVert=(4/25)\sqrt{4^2+3^2}=4/5$。

$\vec f=(1,r,s)$ とおき、$\vec f\cdot\vec d=\vec f\cdot\vec e=0$ を使うと $$1-r+2s=0,\qquad 1+2r-2s=0,$$ より $r=-2,s=-3/2$。したがって $\vec f=(1,-2,-3/2)$, $\vec f\cdot\vec p=3-2-3/2=-1/2$, $\lVert\vec f\rVert=\sqrt{29}/2$。

2直線上の点 $k\vec d$, $\vec p+\ell\vec e$ の差を $\vec w=\vec p+\ell\vec e-k\vec d$ とすると、$\vec w\cdot\vec f=\vec p\cdot\vec f=-1/2$。よって $\lVert\vec w\rVert\ge |\vec w\cdot\vec f|/\lVert\vec f\rVert=1/\sqrt{29}$。実際、$\ell=-38/29,k=51/29$ とすると $\vec w=(-2/29,4/29,3/29)=(-2/29)\vec f$ となり等号が成り立つ。従って最短距離は $1/\sqrt{29}=\sqrt{29}/29$。