III順天堂大学 2012年 数学 第III問解答・解説

(1) $a+bi$ に対する $a-bi$ を $a+bi$ の共役複素数という。

(2) $\alpha=a+bi$ は虚数なので $b\ne0$。係数が実数であることから $f(\overline\alpha)=\overline{f(\alpha)}=0$。また $$x^2-2ax+(a^2+b^2)=(x-\alpha)(x-\overline\alpha).$$ この二次式で $f$ を割ると、実係数多項式の除法により $f(x)=(x^2-2ax+a^2+b^2)g(x)+ux+v$（$u,v$ は実数）と書ける。$x=\alpha,\overline\alpha$ を代入すると $u\alpha+v=u\overline\alpha+v=0$。差を取れば $2ubi=0$ なので $b\ne0$ より $u=0$、従って $v=0$。よって余りは0であり、指定の二次式で割り切れる。

(3) 因子 $x+\alpha$ が非実数 $\alpha$ について $m$ 個含まれるとする。実係数多項式の係数を共役にしても多項式は変わらない。したがって $(x+\alpha)^m$ を因数に持つ表示の係数を共役にすると、$(x+\overline\alpha)^m$ も因数に持つ。逆に $\alpha$ と $\overline\alpha$ を入れ替えて同じことをすれば、それぞれの因子の個数は等しい。非実数 $\alpha$ と $\overline\alpha$ は異なるので、非実数に対応する因子はこのような2個ずつの組に分かれる。ゆえにその総数は偶数である。