2群馬大学 2024年 数学 第2問解答・解説

採用解説: MM-c94c35d9bb02-Q2

結論

$$\text{(1)}\quad R(x)=x^2+2px+p+2,\quad S(x)=(1-p)x-2p+q\qquad \text{(2)}\quad R(\alpha)=S(\alpha)=0\text{であるための必要十分条件は} A(\alpha)=B(\alpha)=0\qquad \text{(3)}\quad q=\pm4\qquad \text{(4)}\quad -1<p<2,\quad(p,q)=(1,2)$$

AをBで割ると $$A(x)=xB(x)+R(x)$$ となり、引き算から $$R(x)=x^2+2px+p+2.$$ さらにBをRで割ると $$B(x)=xR(x)+S(x)$$ となるので $$S(x)=(1-p)x-2p+q.$$

(2) 任意の複素数 $\alpha$ に対して $$A(\alpha)=\alpha B(\alpha)+R(\alpha),\qquad B(\alpha)=\alpha R(\alpha)+S(\alpha).$$ 従って $A(\alpha)=B(\alpha)=0$ なら $R(\alpha)=S(\alpha)=0$。逆に $R(\alpha)=S(\alpha)=0$ なら上の第2式から $B(\alpha)=0$、第1式から $A(\alpha)=0$ であり、必要十分条件が成り立つ。

(3) $p=3$ のとき $$R(x)=x^2+6x+5=(x+1)(x+5),\qquad S(x)=-2x+q-6.$$ (2)よりA,Bが共通解をもつのはR,Sが共通解をもつときに限る。Rの根は $-1,-5$ なので $$S(-1)=0\text{であるための必要十分条件は} q=4,\qquad S(-5)=0\text{であるための必要十分条件は} q=-4.$$ 従って $q=4,-4$。

(4) Rの判別式は $$\Delta=(2p)^2-4(p+2)=4(p+1)(p-2).$$ 実数解がない条件は $\Delta<0$ だから $$-1<p<2.$$ この範囲ではRの根は非実数である。$p\ne1$ ならSは一次式で、その唯一の根 $x=(2p-q)/(1-p)$ は実数（p,qは実数）なので、RとSは共通根をもたない。$p=1$ では $S(x)=q-2$ という定数式であり、Rと共通根をもつのは $q=2$ のときに限る。この組 $(p,q)=(1,2)$ は $-1<p<2$ を満たす。