2岡山大学 2013年 数学 第2問解答・解説

(1) fによる像は $Q=(ax-by,bx+ay)$ である。$P\ne O$ より $x^2+y^2>0$ だから、

$$\displaystyle \frac{OQ}{OP}=\frac{\sqrt{(ax-by)^2+(bx+ay)^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{a^2+b^2}.$$この値は P によらない。

(2) $n\geq1$ に対し、 $A^n=\begin{pmatrix}u_n&-v_n\\v_n&u_n\end{pmatrix}$ と書けることを示す。$n=1$ では $u_1=a,\quad v_1=b$ とすれば成り立つ。これが $n\text{ で}$成り立つとすると、

$$A^{n+1}=A^nA=\begin{pmatrix}u_na-v_nb&-(bu_n+av_n)\\bu_n+av_n&u_na-v_nb\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_{n+1}&-v_{n+1}\\v_{n+1}&u_{n+1}\end{pmatrix},$$ただし $u_{n+1}=au_n-bv_n,\quad v_{n+1}=bu_n+av_n$ である。したがってこの形はすべての正の$\text{整数 }n$ で成り立つ。また、

$$u_{n+1}^2+v_{n+1}^2=(au_n-bv_n)^2+(bu_n+av_n)^2=(a^2+b^2)(u_n^2+v_n^2).$$ $u_1^2+v_1^2=a^2+b^2$ なので、帰納的に $u_n^2+v_n^2=(a^2+b^2)^n$ である。$p_n=u_n,\quad r_n=v_n,\quad q_n=-v_n,\quad s_n=u_n$ より、$$p_n^2+r_n^2=u_n^2+v_n^2=(a^2+b^2)^n,\qquad q_n^2+s_n^2=v_n^2+u_n^2=(a^2+b^2)^n.$$ (3) $x,y$ に対して $(x^2-y^2)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2)^2$ である。実際、左辺は $x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2=(x^2+y^2)^2$ となる。$109=10^2+3^2$ だから、$$109^2=(10^2+3^2)^2=(10^2-3^2)^2+(2\cdot10\cdot3)^2=91^2+60^2.$$よって $(l,m)=(91,60)$ は条件を満たす正の整数の組である。