1岡山大学 2013年 数学 第1問解答・解説

曲線を $\displaystyle h(x)=x-\dfrac{1}{x}\ (x>0)$ とおく。$0<x_1<x_2$ なら $$\displaystyle h(x_2)-h(x_1)=(x_2-x_1)\left(1+\frac{1}{x_1x_2}\right)>0$$ だから、$h(x)$ は $x>0$ で単調に増加する。直線 $y=2$ との交点は $$\displaystyle \left|x-\frac{1}{x}\right|=2$$ を解けばよい。$\displaystyle x-\dfrac1x=-2$ のとき $x^2+2x-1=0$ であり、$x>0$ より $x=a=\sqrt{2}-1$。また $\displaystyle x-\dfrac1x=2$ のとき $x^2-2x-1=0$ であり、 $x>0$ より $x=b=\sqrt{2}+1$ である。$a<1<b$ で、$h(1)=0$ だから、 $a\le x\le1$ では $h(x)\le0$、$1\le x\le b$ では $h(x)\ge0$ となる。 この区間で $y=2$ は曲線の上側にあり、絶対値の符号が変わる $x=1$ で面積を分ける。

$$\displaystyle \begin{aligned} S &=\int_a^1\left(2-\left(\frac1x-x\right)\right)\,dx +\int_1^b\left(2-\left(x-\frac1x\right)\right)\,dx\\ &=\int_a^1\left(2+x-\frac1x\right)\,dx +\int_1^b\left(2-x+\frac1x\right)\,dx . \end{aligned}$$ ここで $\log x$ は自然対数とする。原始関数はそれぞれ $\displaystyle 2x+\dfrac{x^2}{2}-\log x$ と $\displaystyle 2x-\dfrac{x^2}{2}+\log x$ なので、 $$\displaystyle \begin{aligned} S &=\left[2x+\frac{x^2}{2}-\log x\right]_a^1 +\left[2x-\frac{x^2}{2}+\log x\right]_1^b\\ &=1+2(b-a)-\frac{a^2+b^2}{2}+\log(ab). \end{aligned}$$ $a=\sqrt2-1,\ b=\sqrt2+1$ より $b-a=2,\ ab=1$ であり、 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=8-2=6$。したがって $$\displaystyle S=1+4-\frac{6}{2}+\log1=2.$$ 交点では $h(a)=-2,\ h(b)=2$ となり、区間内では $|h(x)|\le2$ だから積分の上下関係も正しい。よって求める面積は $S=2$ である。