16自治医科大学 2012年 数学 第16問解答・解説

円の中心は $(-1,3)$、半径の二乗は $10-k$ である。原点を通る傾き $m$ の直線 $y=mx$ が接線である条件は、中心から直線までの距離が半径に等しいことだから $$\displaystyle \frac{|m+3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{10-k}.$$ 両辺を二乗して整理すると、有限傾きの接線について $$(k-9)m^2+6m+(k-1)=0.$$ 2本の有限傾き接線が直交するとき、傾きの積は $-1$ である。解と係数の関係から $$\displaystyle \frac{k-1}{k-9}=-1,$$ よって $k=5$。このとき傾きの方程式は $-4m^2+6m+4=0$ で、根は $2,-1/2$ だから実際に異なる直交接線が存在する。

垂直線が接線となる可能性も確認する。直線 $x=0$ が接線なら中心からの距離が1なので $10-k=1$、すなわち $k=9$。この場合、有限傾きの接線は $6m+8=0$ より $m=-4/3$ であり、水平線ではないから垂直線とは直交しない。したがって求める値は $k=5$。