2東北大学 2011年 数学 第2問解答・解説

・ 接点を $A=(a,-a)$、中心を $P=(X,Y)$ とする。接線 $y=-x$ の法線方向は $(1,1)$ だから、ある実数 $t$ を用いて $$P=(a+t,-a+t)$$ と書ける。円が $B=(0,1)$ を通るので、$PA^2=PB^2$ より $$2t^2=(a+t)^2+(-a+t-1)^2.$$ 展開して $2t=2a^2+2a+1$、すなわち $\displaystyle t=a^2+a+\tfrac12=(a+\tfrac12)^2+\tfrac14>0$。よって $$\displaystyle X=a+t=a^2+2a+\frac12,\qquad Y=-a+t=a^2+\frac12.$$

・ (1)から $X-Y=2a$、$\displaystyle Y-\tfrac12=a^2$ なので、中心の軌跡は $$\displaystyle (X-Y)^2=4Y-2\qquad(Y\ge\tfrac12).$$ 逆にこの式を満たす点に対し $a=(X-Y)/2$ とおけば (1)の表示に戻るため、これは軌跡全体である。$Y=1$ との交点は $X=1\pm\sqrt2$。$\displaystyle \tfrac12\le Y\le1$ で軌跡の左右の枝は $$\displaystyle X=Y\pm2\sqrt{Y-\frac12}$$ であり、水平断面の幅は $\displaystyle 4\sqrt{Y-\tfrac12}$。したがって囲まれる面積は $$\displaystyle S=4\int_{1/2}^{1}\sqrt{Y-\frac12}\,dY =\frac83\left(\frac12\right)^{3/2} =\frac{2\sqrt2}{3}.$$