2藤田医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1) 式を平方完成すると $$(x-t)^2+(y-(1-t))^2=t^2+(1-t)^2$$ となる。これは中心 $(t,1-t)$，半径 $\sqrt{t^2+(1-t)^2}$ の円である。両端 $t=0,1$ の円をそれぞれ $C_0,C_1$ とすると，その方程式の左辺は $$F_0=x^2+y^2-2y,\qquad F_1=x^2+y^2-2x$$ であり，途中の円の左辺は $(1-t)F_0+tF_1$ である。したがって，ある $0\le t\le1$ で円上にある条件は，線形な式 $(1-t)F_0+tF_1$ が区間内で0になること，すなわち $F_0F_1\le0$ である。よって $$D\text{ は }(x^2+y^2-2y)(x^2+y^2-2x)\le0\text{ を満たす点全体である。}$$ $C_0$ は中心 $(0,1)$，半径1，$C_1$ は中心 $(1,0)$，半径1の円である。図示するときは両円周を含め，円の内部の一方だけに入る2つの三日月形領域を塗る。

(2) 2円の中心間距離は $\sqrt2$ である。共通弦の両端を $X,Y$ とする。各中心と $X,Y$ を結ぶと，辺の長さが $1,1,\sqrt2$ の直角二等辺三角形ができるため，対応する中心角は90度である。よって2円の共通部分の面積は，90度の扇形2個から直角二等辺三角形2個を引いて $$\displaystyle 2\left(\frac{\pi}{4}-\frac12\right)=\frac{\pi}{2}-1.$$ 各円の面積は $\pi$ なので，円の内部の一方だけに属する部分の面積は $$\displaystyle S=2\pi-2\left(\frac{\pi}{2}-1\right)=\pi+2.$$ 円周は面積に寄与しない。　 (3) $y\ge0$ に限って縦の切り口を考える。$-1<x<0$ では $C_0$ 側の区間だけがあり，その下端・上端は $$a=1-\sqrt{1-x^2},\qquad b=1+\sqrt{1-x^2}.$$ $0<x<1$ では2円の上半分の区間が重なる。さらに $$d=\sqrt{2x-x^2}$$ とおくと，$C_1$ 内の $y$ の区間は $0\le y\le d$，$C_0$ 内の区間は $a\le y\le b$ である。このとき $a\le x\le d\le b$ が成り立つ。実際，$\sqrt{1-x^2}\ge1-x$ より $a\le x$，また $d^2-x^2=2x(1-x)\ge0$ より $x\le d$，最後に $d\le1\le b$ である。したがって $D$ の縦切り口は $0\le y\le a$ または $d\le y\le b$ であり，回転断面積は $\pi a^2+\pi(b^2-d^2)$ となる。$1<x<2$ では $C_1$ 側だけが残り，区間は $0\le y\le d$ である。端の有限個の $x$ の切り口は体積に影響しない。　 よって回転体積は $$\displaystyle \begin{aligned} V&=4\pi\int_{-1}^{0}\sqrt{1-x^2}\,dx +\pi\int_0^1(4-2x-x^2)\,dx +\pi\int_1^2(2x-x^2)\,dx\\ &=4\pi\cdot\frac{\pi}{4}+\pi\cdot\frac83+\pi\cdot\frac23 =\pi^2+\frac{10\pi}{3}. \end{aligned}$$ ここで第1積分は半径1の円の4分の1の面積，第2・第3積分は多項式の原始関数で評価した。