3東北大学 2011年 数学 第3問解答・解説

(1) Aが2個の赤玉を得るには、2回ともAが選ばれ、2個とも赤玉が取り出される必要がある。サイコロの出目と玉の色は独立だから、 $$\displaystyle \left(\frac16\right)^2\cdot\frac3{10}\cdot\frac2{9} =\frac1{540}.$$

(2) Bが選ばれる確率は1回につき $\displaystyle \dfrac13$ である。2回の操作でBがちょうど1回選ばれる確率は $$\displaystyle 2\cdot\frac13\cdot\frac23=\frac49.$$ このときBの1回の取り出しが赤玉である確率は $\displaystyle \dfrac3{10}$ である。どちらの順番でも、取り出し順に並べた玉の各位置は最初の10個の玉のいずれかが等確率で入るためである。Bが2回とも選ばれる確率は $\displaystyle \left(\dfrac13\right)^2=\dfrac19$ であり、その2回で少なくとも1個の赤玉を得る確率は、2回とも白玉となる事象の余事象を用いて $$\displaystyle 1-\frac7{10}\cdot\frac6{9}=\frac8{15}$$ である。Bが選ばれない場合の寄与は0なので、 $$\displaystyle \frac49\cdot\frac3{10}+\frac19\cdot\frac8{15} =\frac2{15}+\frac8{135} =\frac{26}{135}.$$

(3) サイコロの出目は玉の取り出しと独立であり、3回目にCが選ばれる確率は $\displaystyle \dfrac36=\dfrac12$ である。戻さずに取り出す玉の順序では、3番目の位置にも初めの10個の玉のそれぞれが等確率で入るため、3回目に赤玉が出る確率は $\displaystyle \dfrac3{10}$ である。よって $$\displaystyle \frac12\cdot\frac3{10}=\frac3{20}.$$