4昭和大学 2010年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle P(\mathrm{XA})=\frac15,\qquad P(\mathrm{XB})=\frac45,\qquad P(D\mid\mathrm{XA})=a,\quad P(D\mid\mathrm{XB})=b$$ とする。

(1) 2人は復元抽出なので独立である。XAを持つ人とXBを持つ人が1人ずつと分かった条件の下では、それぞれの発病確率は $a,b$ である。よって両方が発病する条件付き確率は $ab$.

(2) 全確率の公式より $$\displaystyle P(D)=P(D\mid\mathrm{XA})P(\mathrm{XA}) +P(D\mid\mathrm{XB})P(\mathrm{XB}) =\frac{a+4b}{5}.$$

(3) $P(D)>0$、すなわち $a+4b>0$ のとき、ベイズの公式により $$\displaystyle P(\mathrm{XA}\mid D) =\frac{P(D\mid\mathrm{XA})P(\mathrm{XA})}{P(D)} =\frac{a/5}{(a+4b)/5} =\frac{a}{a+4b}.$$ $a=b=0$ では $P(D)=0$ となり、この条件付き確率は定義されない。

(4) (3) の確率が0.5以上である条件は $$\displaystyle \frac{a}{a+4b}\ge\frac12.$$ ただし分母が正であることが必要である。このもとで両辺に $2(a+4b)>0$ を掛けると $$2a\ge a+4b,\qquad a\ge4b.$$ したがって条件は $a+4b>0$ かつ $a\ge4b$.