自治医科大学 2012年数学第22問解答・解説

微分・積分の考え

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1問題

自治医科大学2012年度第22問

関数 $f(x)=x^{3}-9x^{2}+3x$ は， $x=a$ で極大値をとり， $x=b$ で極小値をとるものとする（ $a,b$ は実数）。 $(a+b)$ の値を求めよ。

選択肢：ア：0，カ：1，サ：2，タ：3，ナ：4，ハ：5，マ：6，ヤ：7，ラ：8，ワ：9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

導関数の符号で増減を調べ、極大・極小となるx座標を特定する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$6\quad($ マ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

導関数は $f'(x)=3x^2-18x+3=3\{(x-3)^2-8\} =3\{x-(3-2\sqrt2)\}\{x-(3+2\sqrt2)\}.$ $f'(x)$ は $x<3-2\sqrt2$ と $x>3+2\sqrt2$ で正、 $3-2\sqrt2<x<3+2\sqrt2$ で負である。よって関数は $x=3-2\sqrt2$ で増加から減少に変わるため極大となり、 $x=3+2\sqrt2$ で減少から増加に変わるため極小となる。したがって $a=3-2\sqrt2,\qquad b=3+2\sqrt2,\qquad a+b=6.$ 選択肢ではマである。

この問題で使う考え方

多項式の導関数
導関数と増減
極大・極小

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