自治医科大学 2012年数学第9問解答・解説

二次関数三角関数

このページには広告が含まれます。

1問題

自治医科大学2012年度第9問

関数 $y=2\cos\theta-\sin^{2}\theta\quad(0\leq\theta<2\pi)$ の最大値を $M$ ，最小値を $m$ とする。 $(M+m)$ の値を求めよ。

選択肢：ア：0，カ：1，サ：2，タ：3，ナ：4，ハ：5，マ：6，ヤ：7，ラ：8，ワ：9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

余弦を変数として式を平方完成し、その取り得る範囲の両端で最大・最小を確認した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

0 （ $\mathrm{ア}$ ）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$c=\cos\theta$ とおくと $-1\le c\le1$ であり、 $y=2c-\sin^2\theta=2c-(1-c^2)=c^2+2c-1=(c+1)^2-2$ 。ここで $0\le(c+1)^2\le4$ だから、最小値は $-2$ 、最大値は $2$ である。どちらも実際に取れ、最小値は $c=-1$ （ $\theta=\pi$ ）、最大値は $c=1$ （ $\theta=0$ ）である。したがって $M+m=2+(-2)=0$ 。選択肢は共通指示の通り、ア=0、カ=1、サ=2、タ=3、ナ=4、ハ=5、マ=6、ヤ=7、ラ=8、ワ=9である。したがって答えはアである。

この問題で使う考え方

二次関数の最大・最小
三角関数の周期・グラフ
三角関数の相互関係

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。