自治医科大学 2012年数学第6問解答・解説

指数関数・対数関数

このページには広告が含まれます。

1問題

自治医科大学2012年度第6問

方程式 $25^{x}-50\cdot5^{x-2}+1=0$ を解け。

選択肢：ア：0，カ：1，サ：2，タ：3，ナ：4，ハ：5，マ：6，ヤ：7，ラ：8，ワ：9。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

底を5とする指数法則で二次方程式に置き換え、指数関数の一対一性で解いた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$x=0\;$ （ $\mathrm{ア}$ ）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$t=5^x$ とおくと $t>0$ 、 $25^x=t^2$ 、また $50\cdot5^{x-2}=2t$ である。よって方程式は $t^2-2t+1=0$ 、すなわち $(t-1)^2=0$ となり、 $t=1$ 。したがって $5^x=1=5^0$ より $x=0$ である（底が $5>1$ の指数関数は一対一）。元の左辺に代入すると $1-50/25+1=0$ となる。選択肢は共通指示の通り、ア=0、カ=1、サ=2、タ=3、ナ=4、ハ=5、マ=6、ヤ=7、ラ=8、ワ=9である。したがって答えはアである。

この問題で使う考え方

有理数指数と指数法則
指数関数のグラフ・増減

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。