24自治医科大学 2012年 数学 第24問解答・解説

両曲線の導関数は $f^\prime(x)=g^\prime(x)=3x^2+6x$。接線が一致するなら傾きが等しいので $$3p^2+6p=3q^2+6q \text{すなわち} 3(p-q)(p+q+2)=0.$$ 条件 $p\ne q$ より $p+q=-2$。接点での接線の切片は $y$ 座標から傾きと $x$ 座標の積を引いた値である。したがって $C_1$ の接線の切片は $$f(p)-p f^\prime(p)=p^3+3p^2-p(3p^2+6p)=-2p^3-3p^2,$$ $C_2$ の接線の切片は $$g(q)-q g^\prime(q)=q^3+3q^2+c-q(3q^2+6q)=-2q^3-3q^2+c.$$ 接線が一致するのでこの2つの切片も等しく、$c=(-2p^3-3p^2)-(-2q^3-3q^2)$。ここで $u=p+1$ とおくと $p=u-1,\ q=-p-2=-u-1$ だから $$-2p^3-3p^2=-2u^3+3u^2-1,\qquad -2q^3-3q^2=2u^3+3u^2-1.$$ よって $c=-4u^3=-4(p+1)^3$。問題の表示 $c=-A(p+1)^3$ と比べて $A=4$ である。なお $c>0$ なら $p+1<0$ であり、導出した関係は条件 $p\ne q$ と矛盾しない。選択肢ではナである。