8自治医科大学 2012年 数学 第8問解答・解説

条件を2乗すると $\displaystyle 1+2\sin\theta\cos\theta=\frac15$ なので、$\displaystyle \sin\theta\cos\theta=-\frac25$。この値は零でないため $\sin\theta,\cos\theta$ はともに零でなく、$\tan\theta$ とその逆数は定義される。そこで $u=\tan\theta$ とおくと $\displaystyle u+\frac1u=\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}=-\frac52$。恒等式 $u^3+u^{-3}=(u+u^{-1})^3-3(u+u^{-1})$ により $\displaystyle \tan^3\theta+\frac1{\tan^3\theta}=-\frac{65}{8}$。よって求める値は $\displaystyle -\frac8{13}\cdot-\frac{65}{8}=5$。選択肢は共通指示の通り、ア=0、カ=1、サ=2、タ=3、ナ=4、ハ=5、マ=6、ヤ=7、ラ=8、ワ=9である。したがって答えはハである。