17自治医科大学 2012年 数学 第17問解答・解説

円の式を平方完成すると $$(x+5)^2+(y-1)^2=16$$ である。よって中心は $C(-5,1)$，半径は $4$。中心 $C$ から直線 $2x-y+3=0$ までの距離を $d$ とすると $$\displaystyle d=\frac{|2(-5)-1+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{8}{\sqrt5}.$$ 円の中心から弦 $AB$ に下ろした垂線は弦を二等分する。弦の中点を $M$ とすれば $CM=d,\ AM=a/2$ であり，直角三角形 $CMA$ から $$\displaystyle \left(\frac a2\right)^2=4^2-\left(\frac8{\sqrt5}\right)^2 =16-\frac{64}{5}=\frac{16}{5}.$$ 長さ $a$ は正なので $a=8/\sqrt5$。したがって $\sqrt5a=8$，選択肢ではラである。