I鳥取大学 2009年 数学 第I問解答・解説

u=$\sin$ 2x とおく。条件から 0$\leq$ 2x$\leq$$\pi$ であり、0$\leq$ u$\leq$1 である。また、2$\sin$ x$\cos$ x=$\sin$2x, $\cos^2$ 2x=1-$\sin^2$ 2x より、$$\displaystyle f(x)=2-\cos^2 2x-\sqrt{3}\sin2x =1+\sin^2 2x-\sqrt{3}\sin2x =1+u^2-\sqrt{3}u =\left(u-\frac{\sqrt{3}}2\right)^2+\frac14.$$ ここで $\displaystyle 0\le\frac{\sqrt3}{2}\le1$ だから、最小値は $\displaystyle \frac14$ である。等号成立条件は u=$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}2$ であり、0$\leq$2x$\leq$$\pi$ において 2x=$\displaystyle \frac{\pi}{3}$,$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$、すなわち x=$\displaystyle \frac{\pi}{6}$,$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ である。 さらに、0$\leq$ u$\leq$1<$\sqrt{3}$ より u(u-$\sqrt{3}$)$\leq$0 なので、 f(x)=1+u(u-$\sqrt{3}$)$\leq$1. 等号は u=0 のときに限る。0$\leq$2x$\leq$$\pi$ において $\sin$2x=0 となるのは 2x=0,$\pi$、すなわち x=0,$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ である。したがって最大値は 1 である。