2東邦大学 2012年 数学 第2問解答・解説

$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)$ である。$A\cap C$は3と7の公倍数、すなわち21の倍数、$B\cap C$は5と7の公倍数、すなわち35の倍数であり、その共通部分は105の倍数である。包除原理より要素数は $$\displaystyle \left\lfloor\frac{1000}{21}\right\rfloor+ \left\lfloor\frac{1000}{35}\right\rfloor- \left\lfloor\frac{1000}{105}\right\rfloor =47+28-9=66.$$

7の倍数のうち、3の倍数でもある数は21の倍数、5の倍数でもある数は35の倍数です。両方に数えられる105の倍数を一度引く包除原理を使います。1から1000までの各個数は1000をそれぞれの倍数で割った商の整数部分で、47+28−9=66です。