東邦大学 2012年数学第1問解答・解説

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1問題

東邦大学2012年度第1問

円周上にA、B、Cがあり、Aは左上、Bは下、Cは左側に位置する。左の点Pから円に引いた接線PAとPBが描かれ、線分CAとCBのなす角には108°と弧の印、角APBにも弧の印がある。

右図のように, 円周上に3点 $A,B,C$ があり, $\angle ACB=108^\circ$ である. 円の外部にある点 $P$ から円に引いた2つの接線が $A$ と $B$ で接するとき, $\angle APB=\boxed{\text{アイ}}^\circ$ である.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

円周角定理で弧の大きさを特定し、接点での直角と四角形の内角和を用いた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\angle APB=36^\circ$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

接点における半径と接線は垂直なので $\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$ 。円周角 $\angle ACB=108^\circ$ が対する弧 $AB$ （ $C$ を含まない方）の大きさは $216^\circ$ である。従ってもう一方の弧に対する中心角の小さい方は $\angle AOB=360^\circ-216^\circ=144^\circ$ 。四角形 $OAPB$ の内角の和から $\angle APB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-144^\circ=36^\circ.$

この問題で使う考え方

円の性質

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