東邦大学 2012年数学第13問解答・解説

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1問題

東邦大学2012年度第13問

$\triangle ABC$ において, $AB=CA=13,\ BC=10$ とする. また, 辺 $AB$ の中点を $D$ , 辺 $CA$ を $2:1$ に内分する点を $E$ , 線分 $CD$ と線分 $BE$ の交点を $F$ とする. このとき, $\triangle CEF$ の面積は $\boxed{\text{へホ}}$ である.

三角形ABCのAは上、Bは左下、Cは右下にある。辺AB上にD、辺CA上にEがあり、線分CDとBEの交点にFが表示されている。各辺と2本の線分は実線で描かれている。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

ベクトル位置表示で線分の交点を求め、相似な高さの比と底辺比から面積比を計算する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$[CEF]=16\quad($ へホ $=16).$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$[ABC]$ で $AB=CA=13$ 、 $BC=10$ だから、 $A$ から $BC$ に下ろした垂線は $BC$ を二等分する。高さは $\sqrt{13^2-5^2}=12$ なので、 $\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot10\cdot12=60$ 。　 $C$ を原点、 $A=\vec a$ 、 $B=\vec b$ とする。 $D$ は $AB$ の中点、 $CE:EA=2:1$ なので $\displaystyle D=\frac{\vec a+\vec b}{2},\qquad E=\frac23\vec a.$ 交点 $F$ を $F=sD$ かつ $F=(1-t)B+tE$ と表すと、 $\displaystyle \frac s2=\frac{2t}{3},\qquad \frac s2=1-t.$ これを解いて $\displaystyle t=\frac35,s=\frac45$ 、従って $\displaystyle F=\frac25\vec a+\frac25\vec b.$ $CE$ は $CA$ 上にあり、 $\displaystyle CE=\frac23CA$ 。また $F$ の $CA$ からの高さは、 $B$ の $CA$ からの高さの $\displaystyle \frac25$ 倍である。よって面積比は $\displaystyle [CEF]=\frac23\cdot\frac25[ABC]=\frac4{15}\cdot60=16.$

この問題で使う考え方

三角比による面積
位置ベクトル
ベクトルの和・差・実数倍
ベクトルによる図形の考察

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