5東邦大学 2012年 数学 第5問解答・解説

分子の差を有理化して、$s=\sin x$ とおくと、 $$\displaystyle \frac1x\left(\frac1{\sqrt{3-s}}-\frac1{\sqrt{3+s}}\right) =\frac{2(\sin x/x)}{\sqrt{9-\sin^2x}\left(\sqrt{3+\sin x}+\sqrt{3-\sin x}\right)}.$$ ここで $\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ であり、分母の他の因子はそれぞれ $3$ および $2\sqrt3$ に近づく。したがって極限は $\displaystyle \frac{2}{3\cdot2\sqrt3}=\frac1{3\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{9}$。よって $\text{コ}=3,\ \text{サ}=9$。