2徳島大学 2012年 数学 第2問解答・解説

(1) 加法定理より $$\displaystyle \sqrt{3}\sin(n\theta)+\cos(n\theta)=2\sin\left(n\theta+\frac{\pi}{6}\right).$$ したがって、これが0となる条件は、ある整数$m$について$\displaystyle n\theta+\frac{\pi}{6}=m\pi$である。$\theta>0$より$m\geq1$なので、正の解は$m=1,2,\ldots$に対して $$\displaystyle \theta=\frac{m\pi-\pi/6}{n}$$ と並ぶ。よって小さい方から$n$個のうち第$k$番目は $$\displaystyle \boxed{\theta_k=\frac{k\pi-\pi/6}{n}=\frac{(6k-1)\pi}{6n}}\qquad(k=1,2,\ldots,n).$$

(2) (1)から$\displaystyle \theta_n=\pi-\frac{\pi}{6n}$である。よって $$\displaystyle n\cos\frac{\theta_n}{2}=n\sin\frac{\pi}{12n}=\frac{\pi}{12}\frac{\sin(\pi/(12n))}{\pi/(12n)}\longrightarrow\frac{\pi}{12},$$ ただし$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\sin x/x=1$を用いた。

(3) $$\displaystyle x_k=\frac{\theta_k}{2}=\frac{5\pi}{12n}+(k-1)\frac{\pi}{2n}\quad(k=1,2,\ldots,n)$$ とおき、$a=5\pi/(12n),\ d=\pi/(2n)$とする。加法定理 $$\displaystyle 2\sin\frac d2\cos\bigl(a+(k-1)d\bigr)=\sin\bigl(a+(k-\tfrac12)d\bigr)-\sin\bigl(a+(k-\tfrac32)d\bigr)$$ を$k=1$から$n$まで加えると、右辺は消去し合い、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n\cos x_k=\frac{\sin(nd/2)}{\sin(d/2)}\cos\left(a+\frac{(n-1)d}{2}\right)=\frac{\sin(\pi/4)}{\sin(\pi/(4n))}\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6n}\right).$$ したがって $$\displaystyle \frac1n\sum\limits _{k=1}^n\cos\frac{\theta_k}{2}=\frac{\sin(\pi/4)\cos(\pi/4+\pi/(6n))}{n\sin(\pi/(4n))}\longrightarrow\frac{(\sqrt2/2)(\sqrt2/2)}{\pi/4}=\frac2\pi.$$ ここでも$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\sin x/x=1$と余弦関数の連続性を用いた。 $\displaystyle \boxed{(1) \theta_k=\frac{(6k-1)\pi}{6n},\quad(2) \frac{\pi}{12},\quad(3) \frac2\pi}$.