1徳島大学 2012年 数学 第1問解答・解説

第1問

$C_1$ 上の接点の $x$ 座標を $p$、$C_2$ 上の接点の $x$ 座標を $q$（$q>0$）とする。$C_1:y=a^3x^2$ の導関数は $2a^3x$ なので、$x=p$ における接線は $$y=2a^3p(x-p)+a^3p^2=2a^3p\,x-a^3p^2.$$ $C_2:y=-1/x$ の導関数は $1/x^2$ なので、$x=q$ における接線は $$\displaystyle y=-\frac1q+\frac1{q^2}(x-q)=\frac{x}{q^2}-\frac2q.$$ 共有する直線では傾きと切片が等しいから $$\displaystyle 2a^3p=\frac1{q^2},\qquad a^3p^2=\frac2q.$$ 第1式から $p=1/(2a^3q^2)$。これを第2式に代入すると $$\displaystyle \frac1{4a^3q^4}=\frac2q, \qquad 8a^3q^3=1, \qquad aq=\frac12,$$ ここで $a,q>0$ を用いた。従って $q=1/(2a)$, $p=2/a$。共有接線は $$\boxed{\ell:\ y=4a^2x-4a}.$$

接点は $$\displaystyle P=\left(\frac2a,\ a^3\left(\frac2a\right)^2\right) =\left(\frac2a,4a\right),\qquad Q=\left(\frac1{2a},-2a\right).$$ 従って $$\displaystyle PQ^2=\left(\frac2a-\frac1{2a}\right)^2+(4a+2a)^2 =\frac9{4a^2}+36a^2.$$ 2項の積は $81$ だから相加相乗平均により $PQ^2\geq2\sqrt{81}=18$。等号条件は $$\displaystyle \frac9{4a^2}=36a^2, \qquad a^4=\frac1{16}.$$ $a>0$ より $\displaystyle a=\frac12$ のとき等号が成立する。ゆえに $$\displaystyle \boxed{PQ_{\min}=3\sqrt2}.$$