4徳島大学 2012年 数学 第4問解答・解説

解答 Tを表、Hを裏とし、同じ文字が連続する極大区間を連続ブロックと呼ぶ。TとHの枚数をそれぞれ $N_T,N_H$、連続ブロック数を $r_T,r_H$ とすると、同面ペア数は $TT=N_T-r_T$, $HH=N_H-r_H$ である。異面遷移数は列の端と連続ブロック数を定める。

(1) $TT=0$ なので表連続ブロックは全て1枚。TH=HT=1より両端は同じ面。両端が表のとき並びは $TH^{12}T$ だけで1通り。両端が裏なら表1枚を端以外の12位置から選び12通り。合計 **13通り**。

(2) TH=HT=2でも両端は同じ面。両端が表の場合、裏連続ブロックは2個、裏は11枚なので正の2分割は10通り。両端が裏の場合、裏連続ブロックは3個、裏は12枚なので正の3分割は $\displaystyle \binom{11}{2}=55$ 通り。合計 **65通り**。

(3) TH−HT=1より列はTで始まりHで終わる。表連続ブロック・裏連続ブロックはいずれも3個だから表枚数は $2+3=5$、裏枚数は $6+3=9$。表の5枚を3連続ブロックに分ける方法は $\displaystyle \binom42=6$、裏の9枚は $\displaystyle \binom82=28$。合計 **168通り**。

**結論:** (1) 13通り、(2) 65通り、(3) 168通り。

編集ラベル - 単元: 数学A「場合の数」 - 方法: 二値列の連続ブロック分解、正整数の分割、組合せ - テーマ: 隣接するペア数から端点と連続ブロック数を復元する